Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 3} \frac{3 - t}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 3} 3 - t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} 3 - lim_{t \to 3} t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{3 - lim_{t \to 3} t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

Étape 1.1.3.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - 11}}$

Étape 1.1.3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - lim_{t \to 3} 11}}$

Étape 1.1.3.7

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 11}}$

Étape 1.1.3.8

Évaluez la limite de $11$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}$

Étape 1.1.3.9

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 1.1.3.9.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}$

Étape 1.1.3.9.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{0}{\sqrt{3 + 1} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Étape 1.1.3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.10.1.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Étape 1.1.3.10.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Étape 1.1.3.10.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{2 - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

Étape 1.1.3.10.1.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{15 - 1 \cdot 11}}$

Étape 1.1.3.10.1.5

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{15 - 11}}$

Étape 1.1.3.10.1.6

Soustrayez $11$ de $15$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

Étape 1.1.3.10.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.1.3.10.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.1.3.10.1.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Étape 1.1.3.10.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.10.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.11

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 3} \frac{3 - t}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3 - t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3 - t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d t} [- t]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t + 1}$ comme ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = t + 1$ .

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Étape 1.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $t + 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t + 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.12

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.13

Multipliez $\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.7.14

Placez ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 t - 11}$ comme ${(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [{(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [{(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ et $g (t) = 5 t - 11$ .

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Étape 1.3.8.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 t - 11$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

Étape 1.3.8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

Étape 1.3.8.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 t - 11$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

Étape 1.3.8.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t - 11$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 11]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

Étape 1.3.8.5

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

Étape 1.3.8.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

Étape 1.3.8.7

Comme $- 11$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 11$ par rapport à $t$ est $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

Étape 1.3.8.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Étape 1.3.8.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Étape 1.3.8.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Étape 1.3.8.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Étape 1.3.8.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Étape 1.3.8.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Étape 1.3.8.13

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

Étape 1.3.8.14

Additionnez $5$ et $0$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

Étape 1.3.8.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

Étape 1.3.8.16

Associez $\frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $5$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

Étape 1.3.8.17

Déplacez $5$ à gauche de ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 \cdot {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.8.18

Placez ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.4.1

Réécrivez ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{t + 1}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez ${(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{5 t - 11}$ .

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{t \to 3} - 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} lim_{t \to 3} \frac{1}{\sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 1}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.10

Placez le terme $\frac{5}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} lim_{t \to 3} \frac{1}{\sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.11

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 1}{lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.12

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}}$

Étape 2.13

Placez la limite sous le radical.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - 11}}}$

Étape 2.14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - lim_{t \to 3} 11}}}$

Étape 2.15

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $t$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 11}}}$

Étape 2.16

Évaluez la limite de $11$ qui est constante lorsque $t$ approche de $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $3$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $3$ pour $t$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Étape 4.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Étape 4.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{15 - 1 \cdot 11}}}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{15 - 11}}}$

Étape 4.2.3

Soustrayez $11$ de $15$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 4.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{5}{2}$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{4}}$

Étape 4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1}{\frac{1 - 5}{4}}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{- 1}{\frac{- 4}{4}}$

Étape 4.3.5

Divisez $- 4$ par $4$ .

$\frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.4

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$1$