Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \tanh (2 x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tanh (2 x - 1)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\tanh (2 x - 1)] + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tanh (x)$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 1$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\tanh (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\tanh (u)$ par rapport à $u$ est ${sech}^{2} (u)$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) (2 + 0)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$x^{2} ({sech}^{2} (2 x - 1) \cdot 2) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de ${sech}^{2} (2 x - 1)$ .

$x^{2} (2 \cdot {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 {sech}^{2} (2 x - 1)) + \tanh (2 x - 1) (2 x)$

Étape 3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} {sech}^{2} (2 x - 1) + 2 x \tanh (2 x - 1)$