Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Étape 1

Écrivez $\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

Étape 5

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Alors $d u_{1} = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{1} = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 5.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Étape 6

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Étape 7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

Étape 10

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 10.1

Laissez $u_{2} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 10.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 10.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 11

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Étape 12

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 13.3

Multipliez $\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 14

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

Étape 15

Simplifiez

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$