Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 1

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Étape 4

Réécrivez $- u^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$- \frac{1}{1 + x} + C$