Calcul infinitésimal Exemples

$\tan^{5} (x)$

Étape 1

Écrivez $\tan^{5} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

Étape 4

Factorisez $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

Étape 5.2

Réécrivez ${\tan (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Étape 6

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Étape 7

Utilisez le théorème du binôme.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

Étape 8

Simplifiez en multipliant.

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Étape 8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Étape 8.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Étape 8.2.4

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 8.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

Étape 8.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Étape 10

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Étape 11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Étape 12

Laissez $u_{1} = \sec (x)$ . Alors $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 12.1

Laissez $u_{1} = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 12.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 12.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Étape 14

Laissez $u_{2} = \sec (x)$ . Alors $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 14.1

Laissez $u_{2} = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 14.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 14.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{3}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 16.2

Simplifiez

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Étape 17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \tan^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$