Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x + 7}{\sqrt{5 + 2 x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 + 2 x}$ comme ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x + 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x + 7$ et $g (x) = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{1}}$

Étape 4

Simplifiez

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 5.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 5.6.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 5 + 2 x$ .

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Étape 6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $5 + 2 x$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $5 + 2 x$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 11

Associez les fractions.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 11.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{{(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 11.3

Placez ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

Étape 13

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

Étape 14

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x])}{5 + 2 x}$

Étape 15

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{5 + 2 x}$

Étape 16

Simplifiez les termes.

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Étape 16.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

Étape 17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{5 + 2 x}$

Étape 18

Multipliez $\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19

Simplifiez

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Étape 19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.2.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.2

Laissez $u_{2} = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

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Étape 19.2.2.1

Déplacez $u_{2}$ .

$\frac{\frac{3 (u_{2} \cdot u_{2}) - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $u_{2}$ par $u_{2}$ .

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{2} - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 {({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4

Simplifiez

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Étape 19.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.4.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 19.2.4.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{1} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.1.2

Simplifiez

$\frac{\frac{3 (5 + 2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 \cdot 5 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.1.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{\frac{15 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.1.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{15 + 6 x - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.2

Soustrayez $7$ de $15$ .

$\frac{\frac{6 x - 3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.2.4.3

Soustrayez $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Étape 19.3

Associez des termes.

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Étape 19.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$ comme un produit.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{5 + 2 x}$

Étape 19.3.2

Multipliez $\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{5 + 2 x}$ .

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (5 + 2 x)}$

Étape 19.3.3

Multipliez ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ par $5 + 2 x$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.3.3.1

Multipliez ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ par $5 + 2 x$ .

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Étape 19.3.3.1.1

Élevez $5 + 2 x$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 + 2 x)}^{1}}$

Étape 19.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 19.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 19.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 19.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 19.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 x + 8}{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$