Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)} d x$

Étape 3

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ à $\csc^{2} (4 x)$ .

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 5

Comme $\frac{5}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 2}} d x + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 6

Laissez $u_{1} = 3 x + 2$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{1} = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 6.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 6.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u_{1}}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 7.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{2} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 9.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 9.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 9.2.2

Retirez ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 9.2.3

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 9.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 9.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{6} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (4 x) d x$

Étape 11

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 11.1

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 11.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 11.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 11.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \csc^{2} (u_{2}) \frac{1}{4} d u_{2}$

Étape 12

Associez $\csc^{2} (u_{2})$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 13

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Étape 14

Comme la dérivée de $- \cot (u_{2})$ est $\csc^{2} (u_{2})$ , l’intégrale de $\csc^{2} (u_{2})$ est $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{5}{6} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2}) + C)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{1}{4} (- \cot (u_{2})) + C$

Étape 15.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cot (u_{2})$ .

$\frac{5 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

Étape 16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x + 2$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (u_{2})}{4} + C$

Étape 16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$\frac{5 {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3} - \frac{\cot (4 x)}{4} + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$

Étape 18

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{5}{2 \sqrt{3 x + 2}} + \frac{1}{\sin^{2} (4 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{3} {(3 x + 2)}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cot (4 x) + C$