Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Alors $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $4 x^{3} + 4 x$ et $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Étape 1.3.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $9$ .

$u_{lower} = 9$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Étape 1.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Étape 1.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Étape 1.5.3

Additionnez $3$ et $9$ .

$u_{upper} = 12$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Étape 2

Associez $u^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $12$ et sur $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 5.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Étape 5.2.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Étape 5.2.6

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Étape 5.2.7

Associez $- 27$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Étape 5.2.8

Multipliez $- 27$ par $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $3$ .

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Étape 5.2.9.1

Factorisez $3$ à partir de $- 54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Étape 5.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Étape 5.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Étape 5.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Étape 5.2.9.2.4

Divisez $- 18$ par $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Étape 6.2

Associez.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 18$

Étape 6.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Étape 6.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Étape 6.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Factorisez $2$ à partir de $1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 \cdot (12^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.5.3

Multipliez $12^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Forme décimale :

$2.42820323 \dots$

Étape 8