Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \sqrt{2} \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{2} \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.2

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.3

Factorisez ${\sqrt{2}}^{2}$ à partir de $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.4

Factorisez ${\sqrt{2}}^{2}$ à partir de ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.7

Remettez dans l’ordre $2$ et $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\cos (t) \sqrt{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2} \cos (t)$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $\sqrt{2} \cos (t)$ à partir de $\cos (t) \sqrt{2}$ .

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) (1)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) \cdot 1} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\int {(\sqrt{2} \sin (t))}^{3} d t$

Étape 5.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} \sin (t)$ .

$\int {\sqrt{2}}^{3} \sin^{3} (t) d t$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez

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Étape 5.2.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\int \sqrt{2^{3}} \sin^{3} (t) d t$

Étape 5.2.2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\int \sqrt{8} \sin^{3} (t) d t$

Étape 6

Comme $\sqrt{8}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\sqrt{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\sqrt{8} \int \sin^{3} (t) d t$

Étape 7

Factorisez $\sin^{2} (t)$ .

$\sqrt{8} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (t)$ comme $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\sqrt{8} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Étape 9

Laissez $u = \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 9.1

Laissez $u = \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 9.1.1

Différenciez $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 9.1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Étape 9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\sqrt{8} \int - 1 + u^{2} d u$

Étape 10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\sqrt{8} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$\sqrt{8} (- u + C + \int u^{2} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$2 \sqrt{2} (- u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (t)$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3}) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$2 \sqrt{2} (- \cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ . Ainsi, $\cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ est $\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.8

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1.9.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.11

Développez $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.12

Associez les termes opposés dans $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

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Étape 15.1.12.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{2} (- x)$ et $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.12.2

Additionnez $- x \sqrt{2}$ et $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.12.3

Additionnez $\sqrt{2} \sqrt{2}$ et $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.13.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.13.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.13.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.13.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1.13.6.1

Déplacez $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.13.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

Étape 15.1.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.15.1

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.8

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1.15.9.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.9.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.9.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.10

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 15.1.15.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.15.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.10.5

Évaluez l’exposant.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.11

Développez $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.1.15.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.12

Associez les termes opposés dans $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ .

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Étape 15.1.15.12.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sqrt{2} (- x)$ et $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.12.2

Additionnez $- x \sqrt{2}$ et $x \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.12.3

Additionnez $\sqrt{2} \sqrt{2}$ et $0$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.15.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.13.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.13.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.13.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.13.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.13.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.1.15.13.6.1

Déplacez $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.13.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.14

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{(\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}})}^{3}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.15

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{{\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1.15.16.1

Réécrivez ${\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}$ comme $\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.16.2

Factorisez ${(2 - x^{2})}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{2} (2 - x^{2})}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.16.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{(2 - x^{2}) \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.16.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.16.5

Factorisez $\sqrt{2 - x^{2}}$ à partir de $2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Étape 15.1.15.16.5.1

Factorisez $\sqrt{2 - x^{2}}$ à partir de $2 \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.16.5.2

Factorisez $\sqrt{2 - x^{2}}$ à partir de $- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.16.5.3

Factorisez $\sqrt{2 - x^{2}}$ à partir de $\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.17

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1.15.17.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{3}}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.17.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{8}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.17.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 15.1.15.17.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{4 (2)}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.17.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{3}) + C$

Étape 15.1.15.17.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}}}{3}) + C$

Étape 15.1.16

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}) + C$

Étape 15.1.17

Associez.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2}) \cdot 1}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

Étape 15.1.18

Multipliez $\sqrt{2 - x^{2}}$ par $1$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

Étape 15.1.19

Multipliez $3$ par $2$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Étape 15.2

Pour écrire $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Étape 15.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\sqrt{2} \cdot 6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{6}{6}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{\sqrt{2} \cdot 6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Étape 15.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{2} \cdot 6$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{6 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}} + C$

Étape 15.5

Annulez le facteur commun de $2 \sqrt{2}$ .

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Étape 15.5.1

Factorisez $2 \sqrt{2}$ à partir de $6 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} (3)} + C$

Étape 15.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3} + C$

Étape 15.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

Étape 15.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.6.1

Factorisez $\sqrt{2 - x^{2}}$ à partir de $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ .

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Étape 15.6.1.1

Factorisez $\sqrt{2 - x^{2}}$ à partir de $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

Étape 15.6.1.2

Factorisez $\sqrt{2 - x^{2}}$ à partir de $\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

Étape 15.6.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

Étape 15.6.3

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 4 - x^{2})}{3} + C$

Étape 15.7

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - x^{2})}{3} + C$

Étape 15.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - (x^{2}))}{3} + C$

Étape 15.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4 + x^{2}))}{3} + C$

Étape 15.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Étape 16

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$