Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{15} x^{6} - 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{2}{15}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{15} x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $6$ et $\frac{2}{15}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $\frac{12}{15}$ et $x^{5}$ .

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $15$ .

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Étape 1.1.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{5}$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{4 x^{5}}{5} - 3 (4 x^{3})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4 x^{5}}{5} - 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x^{5}}{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.3

Associez $5$ et $\frac{4}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.4

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.5

Associez $\frac{20}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.6

Annulez le facteur commun à $20$ et $5$ .

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Étape 1.1.2.2.6.1

Factorisez $5$ à partir de $20 x^{4}$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.2.6.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.2.6.2.4

Divisez $4 x^{4}$ par $1$ .

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{4} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{4} - 12 (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} - 36 x^{2}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{4} - 36 x^{2}$ .

$4 x^{4} - 36 x^{2}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{4} - 36 x^{2} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$4 x^{4} - 36 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 36 x^{2} = 0$

Étape 1.2.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$4 u^{2} - 36 u = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u^{2} - 36 u$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u^{2}$ .

$4 u (u) - 36 u = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Factorisez $4 u$ à partir de $- 36 u$ .

$4 u (u) + 4 u (- 9) = 0$

Étape 1.2.2.3.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (u) + 4 u (- 9)$ .

$4 u (u - 9) = 0$

Étape 1.2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$4 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x^{2} - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x^{2} - 9$ égal à $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $x^{2} - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 1.2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 1.2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 1.2.5.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.5.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 1.2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 1.2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 1.2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, - 3$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f'' (- 6) = 4 {(- 6)}^{4} - 36 {(- 6)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 6) = 4 \cdot 1296 - 36 {(- 6)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1296$ .

$f'' (- 6) = 5184 - 36 {(- 6)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 6) = 5184 - 36 \cdot 36$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $36$ .

$f'' (- 6) = 5184 - 1296$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1296$ de $5184$ .

$f'' (- 6) = 3888$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $3888$ .

$3888$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$ car $f'' (- 6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = 4 {(- 2)}^{4} - 36 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$f'' (- 2) = 4 \cdot 16 - 36 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$f'' (- 2) = 64 - 36 {(- 2)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = 64 - 36 \cdot 4$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$f'' (- 2) = 64 - 144$

Étape 5.2.2

Soustrayez $144$ de $64$ .

$f'' (- 2) = - 80$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 80$ .

$- 80$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 3, 0)$ car $f'' (- 2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, 3)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 4 {(2)}^{4} - 36 {(2)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f'' (2) = 4 \cdot 16 - 36 {(2)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$f'' (2) = 64 - 36 {(2)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = 64 - 36 \cdot 4$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $4$ .

$f'' (2) = 64 - 144$

Étape 6.2.2

Soustrayez $144$ de $64$ .

$f'' (2) = - 80$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 80$ .

$- 80$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(0, 3)$ car $f'' (2)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f'' (6) = 4 {(6)}^{4} - 36 {(6)}^{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $6$ à la puissance $4$ .

$f'' (6) = 4 \cdot 1296 - 36 {(6)}^{2}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $4$ par $1296$ .

$f'' (6) = 5184 - 36 {(6)}^{2}$

Étape 7.2.1.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f'' (6) = 5184 - 36 \cdot 36$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 36$ par $36$ .

$f'' (6) = 5184 - 1296$

Étape 7.2.2

Soustrayez $1296$ de $5184$ .

$f'' (6) = 3888$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $3888$ .

$3888$

Étape 7.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(3, \infty)$ car $f'' (6)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 3)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 3, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le bas sur $(0, 3)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(3, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 9