Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{27 x^{3} + 12}}$

Étape 1

Factorisez $3$ à partir de $27 x^{3} + 12$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $27 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 12}}$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 3 (4)}}$

Étape 1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (9 x^{3}) + 3 (4)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3} + 4)}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt[3]{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 3.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

Étape 5.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{3} + 4}{x^{3}}}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Étape 7.1.2

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{1}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 7.6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{1}}}$

Étape 9.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.2.1

Divisez $9 + 4 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.2.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 0)}}$

Étape 9.2.3.2

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}}$

Étape 9.2.3.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

Étape 9.2.3.4

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

Étape 9.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{1}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{3}$