Calcul infinitésimal Exemples

$\int 6 x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Étape 1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$6 \int x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 - 3 x^{5}$ . Alors $d u = - 15 x^{4} d x$ , donc $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Laissez $u = 2 - 3 x^{5}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Différenciez $2 - 3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{5}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$0 - 3 (5 x^{4})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$0 - 15 x^{4}$

Étape 2.1.4

Soustrayez $15 x^{4}$ de $0$ .

$- 15 x^{4}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$6 \int u^{7} \frac{1}{- 15} d u$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \int u^{7} (- \frac{1}{15}) d u$

Étape 3.2

Associez $u^{7}$ et $\frac{1}{15}$ .

$6 \int - \frac{u^{7}}{15} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$6 (- \int \frac{u^{7}}{15} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \int \frac{u^{7}}{15} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{15}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{15}$ en dehors de l’intégrale.

$- 6 (\frac{1}{15} \int u^{7} d u)$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Associez $\frac{1}{15}$ et $- 6$ .

$\frac{- 6}{15} \int u^{7} d u$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $15$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 (- 2)}{15} \int u^{7} d u$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{5} \int u^{7} d u$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{5} \int u^{7} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Étape 9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez $- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ comme $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{8 \cdot 5} u^{8} + C$

Étape 9.2.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$- \frac{2}{40} u^{8} + C$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $40$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{40} u^{8} + C$

Étape 9.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $40$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Étape 9.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

Étape 9.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{20} u^{8} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 3 x^{5}$ .

$- \frac{1}{20} {(2 - 3 x^{5})}^{8} + C$