Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ comme $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez $x^{3} + 3 x^{2}$ comme $x^{2} (x + 3)$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Étape 1.1.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Étape 1.1.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Étape 1.1.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Étape 1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.9

Associez les fractions.

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Étape 1.1.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.9.3

Placez ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.9.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.12

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.13.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.13.2

Multipliez $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.15

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.1.16

Pour écrire ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17

Associez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.19

Multipliez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.19.1

Déplacez ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.19.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.19.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.19.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.19.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.20

Simplifiez ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.21

Déplacez $2$ à gauche de $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.22

Simplifiez

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Étape 1.1.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.22.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.22.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.22.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.22.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 1.1.22.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.22.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.22.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 (x + 2) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 2) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 (x + 2) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x + 2$ par $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 3}$ comme ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez $4$ par $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 12$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 12$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 12$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $- 12$ par $4$ .

$x = - 3$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 3}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 3 < 0$

Étape 3.5

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < - 3$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Étape 4

Évaluez $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\sqrt{- 8 + 12}$

Étape 4.1.2.4

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$\sqrt{4}$

Étape 4.1.2.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Étape 4.1.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

$\sqrt{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{- 27 + 3 \cdot 9}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$\sqrt{- 27 + 27}$

Étape 4.2.2.4

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$\sqrt{0}$

Étape 4.2.2.5

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, 2), (- 3, 0)$

Étape 5