Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 8 x + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x^{3} + 8 x$ et $0$ .

$4 x^{3} + 8 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 x^{3} + 8 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} + 8 x + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} + 8 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} + 8 x$ .

$4 x^{3} + 8 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} + 8 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} + 8 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} + 8 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 8 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (2) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (2)$ .

$4 x (x^{2} + 2) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 5.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 5.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 5.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 5.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 5.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 5.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$12 {(0)}^{2} + 8$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$12 \cdot 0 + 8$

Étape 9.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 8$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $8$ .

$8$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} + 1$

Étape 11.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 + 1$

Étape 11.2.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ est un minimum local

Étape 13