Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 1

Divisez la fraction $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ en deux fractions.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 9 + 16 x^{2}$ . Alors $d u = 32 x d x$ , donc $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 9 + 16 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 + 16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Étape 4.1.2.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{2}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 16 (2 x)$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$0 + 32 x$

Étape 4.1.4

Additionnez $0$ et $32 x$ .

$32 x$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{32}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 5.2

Déplacez $32$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 6

Comme $\frac{1}{32}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{32}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{32}$ et $2$ .

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $32$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Étape 9

Factorisez $16$ à partir de $9 + 16 x^{2}$ .

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Étape 9.1

Factorisez $16$ à partir de $9$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

Étape 9.2

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

Étape 9.3

Factorisez $16$ à partir de $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{16}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{16}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

Étape 11

Réécrivez $\frac{9}{16}$ comme ${(\frac{3}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Étape 13.1.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Étape 13.1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

Étape 13.1.4

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

Étape 13.1.5

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

Étape 13.1.6

Associez $\frac{4}{3}$ et $\arctan (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Étape 13.3

Simplifiez

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Étape 13.3.1

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Étape 13.3.2

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Étape 13.3.3

Annulez le facteur commun à $4$ et $48$ .

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Étape 13.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Étape 13.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $48$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Étape 13.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Étape 13.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Étape 14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$