Calcul infinitésimal Exemples

$\int 5 x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int x^{3} e^{2 - 3 x^{4}} d x$

Étape 2

Laissez $u = 2 - 3 x^{4}$ . Alors $d u = - 12 x^{3} d x$ , donc $- \frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 2 - 3 x^{4}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $2 - 3 x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{4}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 - 3 (4 x^{3})$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$0 - 12 x^{3}$

Étape 2.1.4

Soustrayez $12 x^{3}$ de $0$ .

$- 12 x^{3}$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{- 12} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 \int e^{u} (- \frac{1}{12}) d u$

Étape 3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{12}$ .

$5 \int - \frac{e^{u}}{12} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$5 (- \int \frac{e^{u}}{12} d u)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 \int \frac{e^{u}}{12} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{12}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{12}$ en dehors de l’intégrale.

$- 5 (\frac{1}{12} \int e^{u} d u)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Associez $\frac{1}{12}$ et $- 5$ .

$\frac{- 5}{12} \int e^{u} d u$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{12} \int e^{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{5}{12} (e^{u} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$- \frac{5}{12} e^{u} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 - 3 x^{4}$ .

$- \frac{5}{12} e^{2 - 3 x^{4}} + C$