Calcul infinitésimal Exemples

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$v' = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d r} v' = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

Étape 3

La dérivée de $v'$ par rapport à $r$ est $v''$ .

$v''$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Associez les fractions.

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Étape 4.1.1

Associez $π$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

Étape 4.1.2

Associez $\frac{π \cdot 4}{3}$ et $r^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

Étape 4.1.3

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

Étape 4.2

Comme $\frac{4 π}{3}$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $\frac{4 π r^{3}}{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2})$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.4.1

Associez $3$ et $\frac{4 π}{3}$ .

$\frac{3 (4 π)}{3} r^{2}$

Étape 4.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 π}{3} r^{2}$

Étape 4.4.3

Associez $\frac{12 π}{3}$ et $r^{2}$ .

$\frac{12 π r^{2}}{3}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 4.4.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12 π r^{2}$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3}$

Étape 4.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 (1)}$

Étape 4.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 \cdot 1}$

Étape 4.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 π r^{2}}{1}$

Étape 4.4.4.2.4

Divisez $4 π r^{2}$ par $1$ .

$4 π r^{2}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$v'' = 4 π r^{2}$

Étape 6

Remplacez $v'$ par $\frac{d v}{d r}$ .

$\frac{d v}{d r} = 4 π r^{2}$