Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (4 x - 7)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x - 7$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 7$ .

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 1.2.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (4 x - 7)$ .

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \cos (4 x - 7)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x - 7$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 7$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 7$ .

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.3.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 2.3.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Étape 2.3.7.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 \sin (4 x - 7)$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x - 7$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 7$ .

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 7$ .

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 3.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 3.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 3.3.5

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $4$ par $- 16$ .

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 \cos (4 x - 7)$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x - 7$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 7$ .

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 7$ .

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 64$ .

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 4.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 4.3.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Étape 4.3.6

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.7.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $4$ par $64$ .

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$