Calcul infinitésimal Exemples

$(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Étape 1

Écrivez $(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ comme une fonction.

$f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Associez $\frac{5}{8}$ et $x^{4}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 \frac{1}{x}) d x d x$

Étape 4.1.3

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + \frac{2}{x}) d x d x$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} d - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez $\frac{5 x^{4}}{8}$ et $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $d$ .

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2 d}{x}) x d x$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{5 x^{4} d}{8} x - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{5 x^{4} d}{8} x$ .

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Étape 4.5.1.1

Associez $\frac{5 x^{4} d}{8}$ et $x$ .

$\int \frac{5 x^{4} d x}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{5 d (x^{4} x^{1})}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{5 d x^{4 + 1}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.1.4

Additionnez $4$ et $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.5.2.1

Déplacez $x$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x \cdot x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x^{1} x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{1 + 2} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

Étape 4.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + 2 d d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Étape 6

Comme $\frac{5 d}{8}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{5 d}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5 d}{8} \int x^{5} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

Étape 9

Comme $- 3 d$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3 d$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d \int x^{3} d x + \int 2 d d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 d d x$

Étape 11

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int 2 d d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 d x + C$

Étape 13

Simplifiez

$\frac{5 d x^{6}}{48} - \frac{3 d x^{4}}{4} + 2 d x + C$

Étape 14

Supprimez les parenthèses.

$\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$