Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} + \frac{1}{y}}{y + 1}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{4 + 3 y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}{y + 1}$

Étape 1.2

Pour écrire $\frac{1}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{1}{4 + 3 y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}}{y + 1}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(4 + 3 y) y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{4 + 3 y}$ par $\frac{y}{y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{(4 + 3 y) y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}}{y + 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{4 + 3 y}{4 + 3 y}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{(4 + 3 y) y} + \frac{4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(4 + 3 y) y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y}{y (4 + 3 y)} + \frac{4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{y + 4 + 3 y}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Étape 1.5

Additionnez $y$ et $3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)}}{y + 1}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)} \cdot \frac{1}{y + 1}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y)}$ par $\frac{1}{y + 1}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{y \to - 1} 4 y + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{y \to - 1} 4 y + lim_{y \to - 1} 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\frac{4 lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3.1.2.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$\frac{4 lim_{y \to - 1} y + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 1$ pour $y$ .

$\frac{4 \cdot - 1 + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y (4 + 3 y) (y + 1)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot lim_{y \to - 1} 4 + 3 y \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (lim_{y \to - 1} 4 + lim_{y \to - 1} 3 y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Étape 3.1.3.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + lim_{y \to - 1} 3 y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Étape 3.1.3.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot lim_{y \to - 1} y + 1}$

Étape 3.1.3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 1)}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{y \to - 1} y \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Étape 3.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $y$ .

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Étape 3.1.3.7.1

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 1$ pour $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 lim_{y \to - 1} y) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Étape 3.1.3.7.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 1$ pour $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 \cdot - 1) \cdot (lim_{y \to - 1} y + 1)}$

Étape 3.1.3.7.3

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 1$ pour $y$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 + 3 \cdot - 1) \cdot (- 1 + 1)}$

Étape 3.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.8.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (4 - 3) \cdot (- 1 + 1)}$

Étape 3.1.3.8.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Étape 3.1.3.8.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot (- 1 + 1)}$

Étape 3.1.3.8.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 0}$

Étape 3.1.3.8.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{y \to - 1} \frac{4 y + 4}{y (4 + 3 y) (y + 1)} = lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y + 4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y + 4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 y + 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 + \frac{d}{d y} [4]}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4 + 0}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $4$ et $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{\frac{d}{d y} [y (4 + 3 y) (y + 1)]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y (4 + 3 y)$ et $g (y) = y + 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y + 1] + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Étape 3.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Étape 3.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) (1 + 0) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Étape 3.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) \cdot 1 + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Étape 3.3.11

Multipliez $y$ par $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) \frac{d}{d y} [y (4 + 3 y)]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = 4 + 3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \frac{d}{d y} [4 + 3 y] + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + 3 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [3 y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.14

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (0 + \frac{d}{d y} [3 y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.15

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \frac{d}{d y} [3 y] + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.16

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (3 \frac{d}{d y} [y]) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y (3 \cdot 1) + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.18

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (y \cdot 3 + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.19

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 \cdot y + (4 + 3 y) \frac{d}{d y} [y])}$

Étape 3.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 y + (4 + 3 y) \cdot 1)}$

Étape 3.3.21

Multipliez $4 + 3 y$ par $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (3 y + 4 + 3 y)}$

Étape 3.3.22

Additionnez $3 y$ et $3 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y (4 + 3 y) + (y + 1) (6 y + 4)}$

Étape 3.3.23

Simplifiez

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Étape 3.3.23.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + (y + 1) (6 y + 4)}$

Étape 3.3.23.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + (y + 1) (6 y) + (y + 1) \cdot 4}$

Étape 3.3.23.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + (y + 1) \cdot 4}$

Étape 3.3.23.4

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{y \cdot 4 + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5

Associez des termes.

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Étape 3.3.23.5.1

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 \cdot y + y (3 y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 (y^{1} y) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 (y^{1} y^{1}) + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{1 + 1} + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + y (6 y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.6

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 (y^{1} y) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 (y^{1} y^{1}) + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{1 + 1} + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 1 (6 y) + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.10

Multipliez $6$ par $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + y \cdot 4 + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.11

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 4 \cdot y + 1 \cdot 4}$

Étape 3.3.23.5.12

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 6 y + 4 y + 4}$

Étape 3.3.23.5.13

Additionnez $6 y$ et $4 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 3 y^{2} + 6 y^{2} + 10 y + 4}$

Étape 3.3.23.5.14

Additionnez $3 y^{2}$ et $6 y^{2}$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{4 y + 9 y^{2} + 10 y + 4}$

Étape 3.3.23.5.15

Additionnez $4 y$ et $10 y$ .

$lim_{y \to - 1} \frac{4}{9 y^{2} + 14 y + 4}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$4 lim_{y \to - 1} \frac{1}{9 y^{2} + 14 y + 4}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$4 \frac{lim_{y \to - 1} 1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + 14 y + 4}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$4 \frac{1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + 14 y + 4}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$4 \frac{1}{lim_{y \to - 1} 9 y^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Étape 4.5

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$4 \frac{1}{9 lim_{y \to - 1} y^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Étape 4.6

Déplacez l’exposant $2$ de $y^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + lim_{y \to - 1} 14 y + lim_{y \to - 1} 4}$

Étape 4.7

Placez le terme $14$ hors de la limite car il constant par rapport à $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + lim_{y \to - 1} 4}$

Étape 4.8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $y$ approche de $- 1$ .

$4 \frac{1}{9 {(lim_{y \to - 1} y)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + 4}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $y$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 1$ pour $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(- 1)}^{2} + 14 lim_{y \to - 1} y + 4}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $y$ en insérant $- 1$ pour $y$ .

$4 \frac{1}{9 {(- 1)}^{2} + 14 \cdot - 1 + 4}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{1}{9 \cdot 1 + 14 \cdot - 1 + 4}$

Étape 6.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$4 \frac{1}{9 + 14 \cdot - 1 + 4}$

Étape 6.1.3

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$4 \frac{1}{9 - 14 + 4}$

Étape 6.1.4

Soustrayez $14$ de $9$ .

$4 \frac{1}{- 5 + 4}$

Étape 6.1.5

Additionnez $- 5$ et $4$ .

$4 (\frac{1}{- 1})$

Étape 6.2

Divisez $1$ par $- 1$ .

$4 \cdot - 1$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4$