Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{3 x^{3} + 6} d x$

Étape 1

Laissez $u = 3 x^{3} + 6$ . Alors $d u = 9 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 3 x^{3} + 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $3 x^{3} + 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3} + 6]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{3} + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [6]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 x^{2} + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $9 x^{2}$ et $0$ .

$9 x^{2}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{3} + 6$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 6$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 6$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$u_{lower} = 6$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 3 x^{3} + 6$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{3} + 6$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 6$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$u_{upper} = 3 + 6$

Étape 1.5.2

Additionnez $3$ et $6$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 9$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{6}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{9} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{9}$ .

$\int_{6}^{9} \frac{\sqrt{u}}{9} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \int_{6}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{6}^{9}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $6$ .

$\frac{1}{9} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{1}{9} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 6.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{9} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.7.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.8

Associez $6^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{6^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Étape 6.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} (18 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{9} \cdot 18 + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (2)) + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 2) + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 + \frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$

Étape 7.3

Multipliez $\frac{1}{9} (- \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3})$ .

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{9 \cdot 3}$

Étape 7.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{27}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 - \frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{27}$

Forme décimale :

$0.91133789 \dots$

Étape 9