Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}} d x$

Étape 4

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2} d x$

Étape 6

Développez $(3 x^{3} - 7 x^{2} + 4) x^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (3 x^{3} - 7 x^{2}) x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int 3 x^{3} x^{- 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x^{3 - 2} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\int 3 x^{1} - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.5

Simplifiez

$\int 3 x - 7 x^{2} x^{- 2} + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 x - 7 x^{2 - 2} + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.7

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\int 3 x - 7 x^{0} + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\int 3 x - 7 \cdot 1 + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.9

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\int 3 x - 7 + 4 x^{- 2} d x$

Étape 6.10

Déplacez $- 7$ .

$\int 3 x + 4 x^{- 2} - 7 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Étape 8

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int x d x + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Étape 10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- 2} d x + \int - 7 d x$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) + \int - 7 d x$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Étape 13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (- x^{- 1} + C) - 7 x + C$

Étape 13.2

Simplifiez

$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} - \frac{4}{x} - 7 x + C$