Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Étape 1

Écrivez $y = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ comme une fonction.

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.2.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x e^{- x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.3.10

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Étape 2.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

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Étape 2.1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.1.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.4.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.4.8

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5.2.2

Additionnez $- e^{- x}$ et $2 e^{- x}$ .

$- 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Étape 2.1.5.2.3

Additionnez $- 2 x e^{- x}$ et $e^{- x} (2 x)$ .

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Étape 2.1.5.2.3.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Étape 2.1.5.2.3.2

Additionnez $- 2 x e^{- x}$ et $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

Étape 2.1.5.2.4

Additionnez $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ et $0$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

Étape 2.1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

Étape 2.1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Étape 2.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \cdot - 1$

Étape 2.2.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 1 \cdot e^{- x}$

Étape 2.2.3.6

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.2.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Étape 2.2.4.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Étape 2.2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Étape 2.2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Étape 3.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Étape 3.2.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- 2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) - e^{- x} = 0$

Étape 3.2.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.4

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x)$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Étape 3.2.5

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.4

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 3.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 3.5

Définissez $x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x^{2} - 2 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.3

Additionnez $4$ et $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Étape 3.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $1 + \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1 + \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- (1 + \sqrt{2})} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.8

Réécrivez ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.9

Développez $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.10.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.3

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.10.3

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Étape 4.1.2.1.11

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.1.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.1.13

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $e^{- 1 - \sqrt{2}}$ et $2 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ et $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ et $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $1 + \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ est $(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Étape 4.3

Remplacez $1 - \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1 - \sqrt{2}$ dans l’expression.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- (1 - \sqrt{2})} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.9

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.9.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.11

Réécrivez ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.12

Développez $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.1.13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.13.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.2

Multipliez $- \sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4

Multipliez $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 4.3.2.1.13.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.2.1.13.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.13.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.13.3

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Étape 4.3.2.1.14

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.16

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + 1 \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.16.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.1.17

Appliquez la propriété distributive.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.3.2.2.1

Additionnez $e^{- 1 + \sqrt{2}}$ et $2 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ et $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.2.3

Soustrayez $2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ de $- 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $1 - \sqrt{2}$ dans $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ est $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}), (1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.51421356$ dans l’expression.

$f'' (- 0.51421356) = {(- 0.51421356)}^{2} e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 0.51421356$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{0.51421356} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $0.26441558$ par $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{0.51421356} - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez $1.02842712$ par $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{- (- 0.51421356)}$

Étape 6.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{0.51421356}$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $0.44218821$ et $1.71986213$ .

$f'' (- 0.51421356) = 2.16205035 - e^{0.51421356}$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $e^{0.51421356}$ de $2.16205035$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.48972754$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $0.48972754$ .

$0.48972754$

Étape 6.3

Sur $- 0.51421356$ , la dérivée seconde est $0.48972754$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

Augmente sur $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f'' (1) = {(1)}^{2} e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1) = 1 e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $e^{- (1)}$ par $1$ .

$f'' (1) = e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (1) = e^{- 1} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- 1} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot \frac{1}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.8

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{1}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} + \frac{- 2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.10

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{{2.71828182}^{1}} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.11

Élevez $2.71828182$ à la puissance $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{2.71828182} - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.12

Divisez $2$ par $2.71828182$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 1 \cdot 0.73575888 - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.13

Multipliez $- 1$ par $0.73575888$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- (1)}$

Étape 7.2.1.14

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- 1}$

Étape 7.2.1.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - \frac{1}{e^{1}}$

Étape 7.2.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{1 - 1}{e^{1}}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{0}{e^{1}}$

Étape 7.2.2.2.2

Divisez $0$ par $e^{1}$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + 0$

Étape 7.2.2.2.3

Additionnez $- 0.73575888$ et $0$ .

$f'' (1) = - 0.73575888$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $- 0.73575888$ .

$- 0.73575888$

Étape 7.3

Sur $1$ , la dérivée seconde est $- 0.73575888$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

Diminue sur $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.51421356$ dans l’expression.

$f'' (2.51421356) = {(2.51421356)}^{2} e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $2.51421356$ à la puissance $2$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- 2.51421356} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 (\frac{1}{e^{2.51421356}}) - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.4

Associez $6.32126983$ et $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{e^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.5

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{{2.71828182}^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.6

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{12.35688703} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.7

Divisez $6.32126983$ par $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.8

Multipliez $- 2$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- 2.51421356} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.10

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot \frac{1}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.11

Associez $- 5.02842712$ et $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 + \frac{- 5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.13

Remplacez $e$ par une approximation.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{{2.71828182}^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.14

Élevez $2.71828182$ à la puissance $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{12.35688703} - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.15

Divisez $5.02842712$ par $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 1 \cdot 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.16

Multipliez $- 1$ par $0.40693316$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Étape 8.2.1.17

Multipliez $- 1$ par $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- 2.51421356}$

Étape 8.2.1.18

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Soustrayez $0.40693316$ de $0.51155843$ .

$f'' (2.51421356) = 0.10462527 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ de $0.10462527$ .

$f'' (2.51421356) = 0.02369874$

Étape 8.2.3

La réponse finale est $0.02369874$ .

$0.02369874$

Étape 8.3

Sur $2.51421356$ , la dérivée seconde est $0.02369874$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Augmente sur $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ .

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Étape 10