Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} - 1}{3^{x + 2} - 9}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{3^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - 9}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Étape 1.1.3.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Étape 1.1.3.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - lim_{x \to 0} 9}$

Étape 1.1.3.1.5

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x + 2} - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{3^{0 + 2} - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} - 1}{3^{x + 2} - 9} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3^{2 x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3^{2 x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{2 x} \ln (3) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $3^{2 x} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3) + 0}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2} - 9]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3^{x + 2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d x} [3^{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3^{x + 2}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 1.3.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{\frac{d}{d u} [3^{u}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{u} \ln (3) \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7.6

Multipliez $3^{x + 2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3) + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $3^{x + 2} \ln (3)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Étape 1.4

Réduisez.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun à $3^{2 x}$ et $3^{x + 2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $3^{x + 2}$ à partir de $2 \cdot 3^{2 x} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Étape 1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1

Factorisez $3^{x + 2}$ à partir de $3^{x + 2} \ln (3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} (\ln (3))}$

Étape 1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x + 2} (2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3))}{3^{x + 2} \ln (3)}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)} \ln (3)}{\ln (3)}$

Étape 1.4.2.2

Divisez $2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cdot 3^{2 x - (x + 2)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} 3^{2 x - (x + 2)}$

Étape 2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$2 \cdot 3^{lim_{x \to 0} 2 x - (x + 2)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $2 x - (x + 2)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 3^{2 \cdot 0 - (0 + 2)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \cdot 3^{0 - (0 + 2)}$

Étape 3.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2 \cdot 3^{0 - 1 \cdot 2}$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 \cdot 3^{0 - 2}$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ de $0$ .

$2 \cdot 3^{- 2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot \frac{1}{9}$

Étape 4.3

Associez $2$ et $\frac{1}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{9}$

Forme décimale :

$0.\overline{2}$