Calcul infinitésimal Exemples

$\int x (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

Étape 1

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int x \sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Étape 8

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Étape 8.1

Simplifiez

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Étape 8.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- 1} + C$