Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$

Étape 1

Réécrivez $\frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$ comme ${(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 3 x^{5} - 2 x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{5} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{5} - 2 x$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.4

Multipliez $5$ par $3$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \cdot 1)$

Étape 3.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$

Étape 4.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$ .

$- (15 x^{4} - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- (15 x^{4}) - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$(- 15 x^{4} - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{5} - 2 x$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{5}$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) - 2 x)}^{2}}$

Étape 4.6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) + x \cdot - 2)}^{2}}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x^{4}) + x \cdot - 2$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4} - 2))}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de produit à $x (3 x^{4} - 2)$ .

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez $- 15 x^{4} + 2$ par $\frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15 x^{4} + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Étape 4.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 15 x^{4}$ .

$\frac{- (15 x^{4}) + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Étape 4.9

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4}) - 1 (- 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Étape 4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (15 x^{4}) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Étape 4.11

Réécrivez $- (15 x^{4} - 2)$ comme $- 1 (15 x^{4} - 2)$ .

$\frac{- 1 (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{15 x^{4} - 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$