Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{4} + 19 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- \frac{1}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{6} x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $\frac{- 4}{6}$ et $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $6$ .

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Étape 1.1.1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [19 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [19 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $19$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $19 x^{2}$ par rapport à $x$ est $19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{3}}{3} + 19 (2 x)$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $19$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{2 x^{3}}{3} + 38 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2 x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.6

Associez $\frac{- 6}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 1.1.2.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.2.7.2.4

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [38 x]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [38 x]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $38$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $38 x$ par rapport à $x$ est $38 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 38 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 38 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $38$ par $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 38$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{2} + 38$ .

$- 2 x^{2} + 38$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x^{2} + 38 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 x^{2} + 38 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $38$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} = - 38$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 38$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x^{2} = - 38$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 38}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 38}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 38$ par $- 2$ .

$x^{2} = 19$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{19}$

Étape 1.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{19}$

Étape 1.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{19}$

Étape 1.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{19}, - \sqrt{19}$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - \sqrt{19}) \cup (- \sqrt{19}, \sqrt{19}) \cup (\sqrt{19}, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - \sqrt{19})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 7$ dans l’expression.

$f'' (- 7) = - 2 {(- 7)}^{2} + 38$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 7$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 7) = - 2 \cdot 49 + 38$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $49$ .

$f'' (- 7) = - 98 + 38$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 98$ et $38$ .

$f'' (- 7) = - 60$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 60$ .

$- 60$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, - \sqrt{19})$ car $f'' (- 7)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \sqrt{19})$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 38$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 38$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 + 38$

Étape 5.2.2

Additionnez $0$ et $38$ .

$f'' (0) = 38$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $38$ .

$38$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\sqrt{19}, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f'' (7) = - 2 {(7)}^{2} + 38$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f'' (7) = - 2 \cdot 49 + 38$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $49$ .

$f'' (7) = - 98 + 38$

Étape 6.2.2

Additionnez $- 98$ et $38$ .

$f'' (7) = - 60$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 60$ .

$- 60$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\sqrt{19}, \infty)$ car $f'' (7)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\sqrt{19}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le bas sur $(- \infty, - \sqrt{19})$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(- \sqrt{19}, \sqrt{19})$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\sqrt{19}, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8