Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}} d x$

Étape 2

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{- 5} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x^{3} + x^{\frac{1}{2}}) x^{- 5} d x$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{3} x^{- 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{3 - 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Étape 5.3

Soustrayez $5$ de $3$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5} d x$

Étape 5.5

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Étape 5.6

Associez $- 5$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 5.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 5 \cdot 2}{2}} d x$

Étape 5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.8.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 10}{2}} d x$

Étape 5.8.2

Soustrayez $10$ de $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{\frac{- 9}{2}} d x$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- 2} + x^{- \frac{9}{2}} d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{9}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}}$ .

$- x^{- 1} + C - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$

Étape 10

Simplifiez

$- \frac{1}{x} - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$