Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 4 x}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{2} + 4 x$ . Alors $d u = (2 x + 4) d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = (x + 2) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{2} + 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2} + 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 x + 4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Étape 6

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 6.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4 x$ .

${(x^{2} + 4 x)}^{\frac{1}{2}} + C$