Calcul infinitésimal Exemples

$\int (10^{20 t} - e^{20 t}) d t$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 10^{20 t} - e^{20 t} d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 10^{20 t} d t + \int - e^{20 t} d t$

Étape 3

Laissez $u_{1} = 20 t$ . Alors $d u_{1} = 20 d t$ , donc $\frac{1}{20} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 3.1

Laissez $u_{1} = 20 t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

Étape 3.1.2

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $20 t$ par rapport à $t$ est $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $20$ par $1$ .

$20$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int 10^{u_{1}} \cdot \frac{1}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Étape 4

Associez $10^{u_{1}}$ et $\frac{1}{20}$ .

$\int \frac{10^{u_{1}}}{20} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Étape 5

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{20}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{20} \int 10^{u_{1}} d u_{1} + \int - e^{20 t} d t$

Étape 6

L’intégrale de $10^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) + \int - e^{20 t} d t$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{20 t} d t$

Étape 8

Laissez $u_{2} = 20 t$ . Alors $d u_{2} = 20 d t$ , donc $\frac{1}{20} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 8.1

Laissez $u_{2} = 20 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $20 t$ .

$\frac{d}{d t} [20 t]$

Étape 8.1.2

Comme $20$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $20 t$ par rapport à $t$ est $20 \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $20$ par $1$ .

$20$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int e^{u_{2}} \frac{1}{20} d u_{2}$

Étape 9

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{20}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{20} d u_{2}$

Étape 10

Comme $\frac{1}{20}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{20}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - (\frac{1}{20} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{20} (\frac{10^{u_{1}}}{\ln (10)} + C) - \frac{1}{20} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{1 \cdot 10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Étape 12.2

Multipliez $10^{u_{1}}$ par $1$ .

$\frac{10^{u_{1}}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{u_{2}} + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $20 t$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$

Étape 14

Associez $e^{20 t}$ et $\frac{1}{20}$ .

$\frac{10^{20 t}}{20 \ln (10)} - \frac{e^{20 t}}{20} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{20 \ln (10)} \cdot 10^{20 t} - \frac{1}{20} e^{20 t} + C$