Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Étape 4

Laissez $x = \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ est positif.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Étape 5.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Étape 5.1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int \sin^{3} (t) d t$

Étape 6

Factorisez $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Étape 7

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (t)$ comme $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Étape 8

Laissez $u = \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 8.1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 12

Simplifiez

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 13

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 13.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (t)$ .

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

Étape 13.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (x)$ .

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

Étape 14

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$