Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Simplifiez

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Étape 3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.1.2

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.1.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

Étape 3.1.2.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Retirez $x^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Réécrivez $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ comme $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ .

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 6

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$