Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x - 1) \sqrt{2 x - x^{2}} + \arcsin (x - 1)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x - 1) \sqrt{2 x - x^{2}} + \arcsin (x - 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x - 1) \sqrt{2 x - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) \sqrt{2 x - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [(x - 1) \sqrt{2 x - x^{2}}]$ .

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - x^{2}}$ comme ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x - x^{2}$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x - x^{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.12

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.13

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.15.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.17

Multipliez $2$ par $1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 - (2 x))) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.18

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2} {(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 - 2 x)) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.19

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x - 1) (\frac{{(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 - 2 x)) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.20

Placez ${(2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.21

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 2.22

Multipliez ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\arcsin (x - 1)]$ .

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arcsin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arcsin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{2}}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} (1 + 0)$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ par $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez des termes.

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Étape 4.1.1

Pour écrire $(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) \cdot \frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2

Associez $(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ et $\frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} + \frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.4

Associez $\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ et $\frac{1}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.5

Pour écrire ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ .

$\frac{(x - 1) \frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}} + \frac{{(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x - 1) \frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x) + 1 + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x - 1$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{x (1 - x + 1)}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x (- x + 2)}$ comme ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}$ comme ${(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 - 2 x) (x - 1) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.3

Développez $(2 - 2 x) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (x - 1) - 2 x (x - 1)) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1 - 2 x (x - 1)) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{(2 x - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(2 x - 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(2 x - 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.4.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{(2 x - 2 - 2 x^{2} + 2 x) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.4.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(x (- x) + x \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(- x \cdot x + x \cdot 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.5.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(- x \cdot x + 2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.5.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.5.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(- (x \cdot x) + 2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.5.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(- x^{2} + 2 \cdot x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{{(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.7

Annulez le facteur commun.

Étape 4.4.8

Réécrivez l’expression.

$\frac{(4 x - 2 - 2 x^{2}) \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.9

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 2 x^{2} \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10

Simplifiez

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Étape 4.4.10.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.10.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 2 x^{2} \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x) \frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2}) - 2 x^{2} \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 2 (\frac{1}{2}) - 2 x^{2} \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 x + 2 (- 1) \frac{1}{2} - 2 x^{2} \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} - 2 x^{2} \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 1 - 2 x^{2} \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x - 1 + 2 (- x^{2}) \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x - 1 + 2 (- x^{2}) \frac{1}{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.10.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.11.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - ((x - 1) (x - 1)))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.4.11.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x (x - 1) - 1 (x - 1)))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.11.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x^{2} - x - x + 1))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - (x^{2} - 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.5

Simplifiez

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Étape 4.4.11.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1)}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.11.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2} + 2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.12

Associez les termes opposés dans $1 - x^{2} + 2 x - 1$ .

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Étape 4.4.12.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2 x + 0)}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.12.2

Additionnez $- x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.13

Multipliez ${(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.4.13.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.13.2

Multipliez ${(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.13.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.13.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.13.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(- x^{2} + 2 x)}^{\frac{2}{2}} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.13.2.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} + {(- x^{2} + 2 x)}^{1} + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.13.3

Simplifiez ${(- x^{2} + 2 x)}^{1}$ .

$\frac{2 x - 1 - x^{2} - x^{2} + 2 x + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.14

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{- 1 - x^{2} - x^{2} + 4 x + 1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.15

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{- x^{2} - x^{2} + 4 x + 0}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.16

Additionnez $- x^{2} - x^{2} + 4 x$ et $0$ .

$\frac{- x^{2} - x^{2} + 4 x}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.17

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.18

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 4 x$ .

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Étape 4.4.18.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 4 x}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.18.2

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (2)}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.4.18.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (2)$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

Étape 4.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x - 1$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

Étape 4.5.3

Simplifiez

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Étape 4.5.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

Étape 4.5.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

Étape 4.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

Étape 4.5.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

Étape 4.5.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ par $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $\frac{2 x (- x + 2)}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ par $\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ .

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 4.7.2

Élevez $\sqrt{x (- x + 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

Étape 4.7.3

Élevez $\sqrt{x (- x + 2)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

Étape 4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

Étape 4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

Étape 4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ comme $x (- x + 2)$ .

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Étape 4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x (- x + 2)}$ comme ${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

Étape 4.7.6.5

Simplifiez

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

Étape 4.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 (- x + 2)) \sqrt{x (- x + 2)}}{- x + 2}$

Étape 4.9

Annulez le facteur commun de $- x + 2$ .

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Étape 4.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x + 2) \sqrt{x (- x + 2)}}{- x + 2}$

Étape 4.9.2

Divisez $(2) \sqrt{x (- x + 2)}$ par $1$ .

$(2) \sqrt{x (- x + 2)}$

$2 \sqrt{x (- x + 2)}$