Calcul infinitésimal Exemples

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Étape 1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Étape 1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 1.6.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 1.6.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 1.6.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Étape 1.6.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Étape 1.6.11.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.6.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.12

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.13

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.14

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.15

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Étape 1.7.6.17

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 6 x + 2$ et $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Étape 4.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 4.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 4.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Étape 4.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Étape 4.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 4.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Étape 4.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6.7

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Étape 4.1.6.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.1.6.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 4.1.6.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Étape 4.1.6.11

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.6.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Étape 4.1.6.11.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 4.1.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.7.6.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.12

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.13

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.14

Soustrayez $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.15

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 4.1.7.6.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Étape 4.1.7.6.17

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Étape 5.2.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 2$ comme $1$ plus $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Étape 5.2.2.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Étape 5.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Étape 5.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Étape 5.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $3 x + 1$ égal à $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $3 x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 1$

Étape 5.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Étape 5.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 5.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{1}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3}$ dans le numérateur.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 + 2$

Étape 9.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Étape 10

$x = - \frac{1}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{1}{3}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{1}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{1}{3}$ dans l’expression.

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 11.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 11.2.3

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Étape 11.2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Étape 11.2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 11.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Étape 11.2.7

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

Étape 11.2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

Étape 11.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

Étape 11.2.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

Étape 11.2.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

Étape 11.2.10

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.10.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 11.2.10.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.10.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 11.2.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 11.2.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Étape 11.2.11

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

Étape 11.2.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

Étape 11.2.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Étape 11.2.14

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.14.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Étape 11.2.14.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

Étape 11.2.14.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Étape 11.2.15

La réponse finale est $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 + 2$

Étape 13.2

Additionnez $- 6$ et $2$ .

$- 4$

Étape 14

$x = 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

Étape 15.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

Étape 15.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

Étape 15.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0$

Étape 15.2.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ est un minimum local

$(1, 0)$ est un maximum local

Étape 17