Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cos (π x)}{e^{x} - \sqrt{e}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (lim_{x \to \frac{1}{2}} π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Étape 4

Placez le terme $π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

Étape 6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $\sqrt{e}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (π \frac{1}{2})$ .

$\frac{\frac{\cos (π \frac{1}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Étape 9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Étape 9.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Étape 9.3

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

Étape 9.4

Divisez $0$ par $e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}$ .

$0$