Calcul infinitésimal Exemples

$\int x (x^{3} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int x \cdot x^{3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{1} x^{3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{1 + 3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int x^{4} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\int x^{4} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{4} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{4} + \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{4} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez

$\frac{1}{5} x^{5} + 2 (- x^{- 1}) + C$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{- 1} + C$