Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x$ .

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

Étape 2

Divisez $x$ par $- x + 1$ .

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Étape 2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Étape 2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Étape 2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Étape 2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

Étape 5

Laissez $u = - x + 1$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = - x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 5.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 5.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{upper} = - 2 + 1$

Étape 5.5.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $- x$ sur $2$ et sur $0$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

Étape 9.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $- 1$ et sur $1$ .

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

Étape 9.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

Étape 10

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

Étape 11.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

Étape 11.3

Divisez $1$ par $1$ .

$- 2 - \ln (1)$

Étape 11.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 2 - 0$

Étape 11.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 2 + 0$

Étape 11.6

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2$

Étape 12