Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \tan (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \tan (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \tan (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \tan (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\sin (0) + 5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 5 \tan (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 5 \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8.1.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8.1.5

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (2 x) + 5 \tan (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \tan (3 x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \tan (3 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\sec^{2} (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.6

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (3 \cdot \sec^{2} (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + 15 \sec^{2} (3 x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 15 \sec^{2} (3 x)$

Étape 2.5

Placez le terme $15$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 {(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)$

Étape 2.8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$2 \cos (0) + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1 + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

Étape 4.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 15 \sec^{2} (3 \cdot 0)$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$2 + 15 \sec^{2} (0)$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$2 + 15 \cdot 1^{2}$

Étape 4.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 15 \cdot 1$

Étape 4.1.7

Multipliez $15$ par $1$ .

$2 + 15$

Étape 4.2

Additionnez $2$ et $15$ .

$17$