Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - 3 \sin (x)}{7 x + \tan (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 3 \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - 3 lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 - 3 \sin (0)}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.6.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.2.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 x + \tan (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7 x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{7 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{7 lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{7 \cdot 0 + \tan (0)}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Étape 1.1.3.5.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - 3 \sin (x)}{7 x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [7 x + \tan (x)]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 1.3.6.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.7

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 3 \cos (x)}{7 + \sec^{2} (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 0} 3 \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Étape 2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 3 lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 + \sec^{2} (x)}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 7 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 2.7

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 2.8

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 2.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{5 - 3 \cos (lim_{x \to 0} x)}{7 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 - 3 \cos (0)}{7 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 - 3 \cos (0)}{7 + \sec^{2} (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{5 - 3 \cdot 1}{7 + \sec^{2} (0)}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{5 - 3}{7 + \sec^{2} (0)}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{2}{7 + \sec^{2} (0)}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{2}{7 + 1^{2}}$

Étape 4.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{7 + 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{2}{8}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$