Calcul infinitésimal Exemples

$\tan^{4} (x)$

Étape 1

Écrivez $\tan^{4} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \tan^{4} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \tan^{4} (x) d x$

Étape 4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

Étape 4.2

Réécrivez ${\tan (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

Étape 6

Simplifiez

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Étape 9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

Étape 10

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Étape 11.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 + 2}$ comme $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Étape 12

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Étape 13

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 13.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 13.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Étape 13.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

Étape 14

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

Étape 15

Appliquez la règle de la constante.

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

Étape 16

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 17

Simplifiez

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Étape 18

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Étape 19

Additionnez $- 2 \tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Étape 20

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \tan^{4} (x)$ .

$F (x) =$ $x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$