Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{{(5 - 7 x)}^{4}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 5 - 7 x$ . Alors $d u = - 7 d x$ , donc $- \frac{1}{7} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 5 - 7 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $5 - 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 7 x]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 7 \cdot 1$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$0 - 7$

Étape 4.1.4

Soustrayez $7$ de $0$ .

$- 7$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 7} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{7}) d u$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{u^{4}}$ par $\frac{1}{7}$ .

$3 \int - \frac{1}{u^{4} \cdot 7} d u$

Étape 5.3

Déplacez $7$ à gauche de $u^{4}$ .

$3 \int - \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \int \frac{1}{7 u^{4}} d u)$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{7 u^{4}} d u$

Étape 8

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 9.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{7} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Étape 9.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 9.2.1

Retirez $u^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Étape 9.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 9.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{7} \int u^{- 4} d u$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 4}$ par rapport à $u$ est $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Étape 11

Simplifiez

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Étape 11.1

Réécrivez $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ comme $- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Étape 11.2

Simplifiez

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Étape 11.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Étape 11.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{3}$ .

$- \frac{3}{7} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Étape 11.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{3}{7}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Étape 11.2.4

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $1$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Étape 11.2.5

Multipliez $\frac{3}{7}$ par $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{7 (3 u^{3})} + C$

Étape 11.2.6

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{3}{21 u^{3}} + C$

Étape 11.2.7

Annulez le facteur commun à $3$ et $21$ .

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Étape 11.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{21 u^{3}} + C$

Étape 11.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (7 u^{3})} + C$

Étape 11.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (7 u^{3})} + C$

Étape 11.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{7 u^{3}} + C$

Étape 12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 - 7 x$ .

$\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$

Étape 13

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{3}{{(5 - 7 x)}^{4}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7 {(5 - 7 x)}^{3}} + C$