Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x}{\sin^{2} (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x}{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 4

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Étape 4.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{x}{\sin^{2} (x) \cdot 1} d x$

Étape 4.2

Séparez les fractions.

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Étape 4.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ à $\csc^{2} (x)$ .

$\int \frac{x}{1} \csc^{2} (x) d x$

Étape 4.4

Divisez $x$ par $1$ .

$\int x \csc^{2} (x) d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \csc^{2} (x)$ .

$x (- \cot (x)) - \int - \cot (x) d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- \cot (x)) - - \int \cot (x) d x$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x (- \cot (x)) + 1 \int \cot (x) d x$

Étape 7.2

Multipliez $\int \cot (x) d x$ par $1$ .

$x (- \cot (x)) + \int \cot (x) d x$

Étape 8

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Étape 9

Réécrivez $x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$ comme $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$ .

$- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$