Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1 - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.6.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1 - 2 x}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} - 1 - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0 - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 2}{2 x}$

Étape 2

Comme la fonction approche de $\infty$ depuis la gauche et $- \infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$