Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $- 2$ , $- 1$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4

Différenciez.

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Étape 1.1.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.4.5.2

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.5.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.2.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.7

Simplifiez

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Étape 1.1.1.5.2.1.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.5.2.1.7.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.7.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.7.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.5.2.1.7.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.7.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.8

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.5.2.1.8.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.8.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.5.2.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.8.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.5.2.2.1

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.2.2

Additionnez $- 4 x^{2} + 2 x$ et $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.2.3

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1.1.5.3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.3.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4

Annulez le facteur commun à $- x + 1$ et ${(x - 1)}^{4}$ .

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Étape 1.1.1.5.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.5

Factorisez $x - 1$ à partir de $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Étape 1.1.1.5.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.5.4.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.1.5.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.1.5.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.1.5.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.1.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 1.4.1.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

Étape 1.4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

Étape 1.4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{((- 2) - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{{(- 2 - 1)}^{2}}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

Étape 3.1.2.2.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{9}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{{(- 1 - 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, \frac{4}{9}), (- 1, \frac{1}{4})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 2, \frac{4}{9})$

Minimum absolu : $(- 1, \frac{1}{4})$

Étape 5