Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $[1, \frac{5}{2}]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{2} + 6 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 3 x$ à partir de $6 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 3 x$ à partir de $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $3 x^{2} - x^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - {(0)}^{3}$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 0$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 - {(2)}^{3}$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$12 - 1 \cdot 8$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$12 - 8$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$4$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2, 4)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(2, 4)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$3 {(1)}^{2} - {(1)}^{3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \cdot 1 - {(1)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - {(1)}^{3}$

Étape 3.1.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - 1 \cdot 1$

Étape 3.1.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 - 1$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = \frac{5}{2}$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{2}$ .

$3 {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$3 \frac{5^{2}}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$3 \frac{25}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Étape 3.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{25}{4}) - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $3 (\frac{25}{4})$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Associez $3$ et $\frac{25}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $25$ .

$\frac{75}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Étape 3.2.2.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{4} - \frac{5^{3}}{2^{3}}$

Étape 3.2.2.1.6

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{2^{3}}$

Étape 3.2.2.1.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{8}$

Étape 3.2.2.2

Pour écrire $\frac{75}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{8}$

Étape 3.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.2.3.1

Multipliez $\frac{75}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{125}{8}$

Étape 3.2.2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{75 \cdot 2}{8} - \frac{125}{8}$

Étape 3.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{75 \cdot 2 - 125}{8}$

Étape 3.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.5.1

Multipliez $75$ par $2$ .

$\frac{150 - 125}{8}$

Étape 3.2.2.5.2

Soustrayez $125$ de $150$ .

$\frac{25}{8}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(1, 2), (\frac{5}{2}, \frac{25}{8})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, 4)$

Minimum absolu : $(1, 2)$

Étape 5