Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} (2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} - 6 x + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} 2 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 6 x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Étape 9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 10.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 \int_{0}^{2} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 11

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{0}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Étape 12.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\arctan (x)]_{0}^{2})$

Étape 12.3

Évaluez $\arctan (x)$ sur $2$ et sur $0$ .

$2 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4

Simplifiez

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Étape 12.4.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$2 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 12.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$2 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 (4 - \frac{0}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 12.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$2 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 (4 - \frac{0}{1}) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$2 (4 - 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 (4 + 0) - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$2 \cdot 4 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 - 6 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 6 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.9

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 - 6 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 - 6 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.9.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$8 - 6 (2 - \frac{0}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 12.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$8 - 6 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 - 6 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 - 6 (2 - \frac{0}{1}) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$8 - 6 (2 - 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.12

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$8 - 6 (2 + 0) + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.13

Additionnez $2$ et $0$ .

$8 - 6 \cdot 2 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.14

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$8 - 12 + 3 ((\arctan (2)) - \arctan (0))$

Étape 12.4.15

Soustrayez $12$ de $8$ .

$- 4 + 3 (\arctan (2) - \arctan (0))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.1

Évaluez $\arctan (2)$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - \arctan (0))$

Étape 13.1.1.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 - 0)$

Étape 13.1.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- 4 + 3 (1.10714871 + 0)$

Étape 13.1.2

Additionnez $1.10714871$ et $0$ .

$- 4 + 3 \cdot 1.10714871$

Étape 13.1.3

Multipliez $3$ par $1.10714871$ .

$- 4 + 3.32144615$

Étape 13.2

Additionnez $- 4$ et $3.32144615$ .

$- 0.67855384$

Étape 14