Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$

Étape 1

Écrivez $\frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 + 3 \cos (x)$ . Alors $d u = - 3 \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = \sin (x) d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 + 3 \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $1 + 3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 3 \cos (x)]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

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Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 4.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 + 3 (- \sin (x))$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$0 - 3 \sin (x)$

Étape 4.1.4

Soustrayez $3 \sin (x)$ de $0$ .

$- 3 \sin (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Étape 5.3

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 u} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Étape 9

Simplifiez

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 3 \cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 \cos (x) |) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{\sin (x)}{1 + 3 \cos (x)}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 3 \cos (x) |) + C$