Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{8 + 2 x - x^{2}}} d x$

Étape 1

Réécrivez $8$ comme $9$ plus $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 + 2 x - x^{2}}} d x$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 x + x^{2})}} d x$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Étape 3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 - x)}^{2}}} d x$

Étape 4

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 4.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (\frac{u}{3})$

$- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$

Étape 7

Réécrivez $- (\arcsin (\frac{u}{3}) + C)$ comme $- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} (1 - x)) + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \arcsin (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} (- x)) + C$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{x}{3}) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \arcsin (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} x) + C$