Calcul infinitésimal Exemples

$2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$

Étape 1

Différenciez.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 5 \arctan (\frac{t}{2})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 \arctan (\frac{t}{2})]$ .

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 \arctan (\frac{t}{2})$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d t} [\arctan (\frac{t}{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \arctan (t)$ et $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{t}{2}$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

Étape 2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]))$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$0 + 5 (\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{t}{2})}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{(1 + {(\frac{t}{2})}^{2}) \cdot 2}$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $1 + {(\frac{t}{2})}^{2}$ .

$0 + 5 \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Étape 2.8

Associez $5$ et $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + {(\frac{t}{2})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{t}{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 (1 + \frac{t^{2}}{2^{2}})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$0 + \frac{5}{2 \cdot 1 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$0 + \frac{5}{2 + 2 \frac{t^{2}}{4}}$

Étape 3.3.3

Associez $2$ et $\frac{t^{2}}{4}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{4}}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t^{2}$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 (t^{2})}{4}}$

Étape 3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{2 t^{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$ .

$\frac{5}{2 + \frac{t^{2}}{2}}$

Étape 3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2}$

Étape 3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.5.2

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{5}{\frac{t^{2} + 4}{2}}$

Étape 3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$5 \frac{2}{t^{2} + 4}$

Étape 3.7

Multipliez $5 \frac{2}{t^{2} + 4}$ .

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Étape 3.7.1

Associez $5$ et $\frac{2}{t^{2} + 4}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{t^{2} + 4}$

Étape 3.7.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{10}{t^{2} + 4}$