Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Étape 2.2.2.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 2.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 5.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Étape 5.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Étape 8.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Étape 8.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Étape 8.2.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Étape 8.2.1.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Étape 8.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

Étape 8.2.4

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 8.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.5.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 8.2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 8.2.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 8.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 8.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 8.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 8.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 8.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Étape 8.2.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 8.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Étape 8.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Étape 8.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Étape 8.2.6.2.4

Divisez $2 \sqrt{2}$ par $1$ .

$- (2 \sqrt{2})$

Étape 8.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$- 2.82842712 \dots$